Iнфолiякратная функцыя (прамая i адваротная)

У дадзеным артыкуле разглядаецца магчымасць пабудовы прамой i адваротнай элементарнай функцыi, якая апраксiмiруе фактэрыял лiку для ўсiх дробных лiкаў і дазваляе вылiчаць значэнне адваротнай функцыi без прыцягнення iнтэгралаў шляхам  выкарыcтання ведаў, якiя не выходзяць за межы праграмы базавай школы.

Элементарныя функцыi дазваляюць атрымлiваць канчатковы вынiк пры вылiчэннi канкрэтных значэнняў пасля некаторай напярэддадзенай абмежаванай колькасцi алгебраiчных дзеянняў. Элементарныя функцыi таксама дазваляюць больш проста даследаваць любую функцыю як суперпазiцыю элементарных. Гэта тычыцца i так званых адваротных (элементарных) функцый.

У сярэднiх школах краiны (у прыватнасцi пры выкладаннi i вывучэннi iнфарматыкi i матэматыкi, на факультатывах) разглядаюцца функцыя int(x), якая вызначае цэлую частку лiку х, якая не пераўзыходзiць х, разглядаецца таксама i фактарыял цэлага лiку n! = 1*2*3*…*n, дзе n – натуральны лiк. Будзем лiчыць, што iснуе магчымасць выкарыстоўваючы iх суперпазiцыю пабудаваць элементарную функцыю, якая апраксiмiруе фактарыял для ўсiх дадатных лiкаў, накшталт вядомай эйлераўскай Г- функцыi, (пры х = n, дзе n- натуральны лiк, яе значэнне павiна цалкам адпавядаць n!) i што існуе магчымасць пабудовы элементарнай адваротнай функцыi (адной, цi суперпазiцыi элементарных функцый), якая дазволiць па значэнню iнфолiякратнай функцыi атрымаць значэнне аргумента за пэўную колькасць крокаў (арыфметычных дзеянняў).

Як вядома, паняцце фактарыялу пашырана Эйлерам у ХVIII стагоддзi.  Гама-функцыя*:

 

Г(х) = х(х-1)(х-2)…(х-n),

 

дзе   n –  натуральны лiк, якi не пераўзыходзiць  х.

Але знаходжанне лiку х па раней дадзенаму значэнню функцыi Г(х) выконваецца з выкарыстаннем (прыцягненнем) iнтэгралаў, што выходзiць за межы праграмы базавай школы.

Мэта гэтага артыкулу: разгляд магчымасцей пабудовы функцыi (пажадана – элементарнай, дыферэнцыруемай i непарыўнай) для ўсiх дадатных лiкаў па аналогii з iснуючымi цэлалiкавымi значэннямi, напрыклад фактэрыял, паслядоўнасць Фiбаначы, знаходжанне значэнняў якой (як i значэнняў адваротнай ёй функцыi) магло быць выканана фiксiраванай колькасцю арыфметычных дзеянняў, з выкарыстаннем толькi тых ведаў, якiя знаходзяцца ў межах школьнай праграмы.

Згодна з агульнаметадалагiчнай гiпотэзай iнфолiякратнасцi** iснуе злiчоная колькасць рашэнняў адвольнай задачы. Найбольш прадуктыўным спосабам пошуку прыймальных рашэнняў з’яўляецца пакрокавы (у тым лiку – паслядоўны) метад, з першачарговым выкарыстаннем тых эўрыстык, якiя ўжо неаднаразова дазвалялi даследчыку дасягнуць пастаўленай мэты.

Такiм чынам пошук патрэбнай функцыi, якую дамовiмся для адназначнасцi называць iнфолiякратнай функцыяй, будзем ажыццяўляць з улiкам наступнага:

1.        Яе папярэднiя значэннi (на адрэзку [1,0], нейкiм найбольш простым чынам) вызначаюць наступныя;

2.        Да такiх вiдавочных папярэднiх значэнняў адносiцца фактарыял блiжэйшых цэлых лiкаў, якiя не пераўзыходзяць значэнне аргумента функцыi;

3.        Састаўляючыя часткi формулы – аналiтычнага задання функцыi – утрымлiваюць выразы i функцыi (элементарныя), вывучаемыя ў сярэдняй (цi базавай) школе;

4.        Пры аналiтычным заданнi функцыi выкарыстоўваюцца толькi арыфметычныя дзеяннi (ў абмежаванай колькасцi);

Гэта значыць, што iнфолiякратная функцыя лiку х, якую па аналогii з абазначэннем фактарыялу абазначым х!? або х!, будзе вызначацца суперпазiцыяй значэнняў М, дзе М– цэлая частка лiку х, дробнай часткi лiку х, а таксама самога лiку х. (Апошняе патрабаванне найбольш вiдавочна: малаверагодна знайсцi формулу для новай (элементарнай) функцыi, у якой не будзе задзейнiчана абазначэнне аргументу). М! i (М-1)! – значэннi фактэрыялу цэлай часткi лiку х (цэлага лiку i папярэдняга цэлага лiку).

Найбольш пашыраныя арыфметычныя дзеяннi, якiя выкарыстоўваюца у абазначэннях прасцейшых функцый (напрыклад лiнейнай: ах + b), гэта множанне i складанне. Акрамя таго, улiчым, што для кожнага значэння аргумента адпаведнае значэнне непарыўнай функцыi павiна быць адным i тым жа, незалежна ад таго, з якога боку да яго мы наблiжаемся: справа цi злева. З улiкам вышэйазначанага х!? або х! павiна аб’ядноўваць х, М!, (М – 1)! i iншыя дробныя састаўныя часткi такiм чынам, каб канчатковы вынiк, вылiчаны па формуле, быў аднолькавы, пры выкарыстаннi iснуючых некалькiх спосабаў запiсу аднаго i тагож лiку дзесятковым дробам: 2,99(9) = 3 = 3,0(0).

З улiкам вышэйазначанага маем:

 

Y = х!? або х! = х(mМ! + (1-m)(М-1)!)

 

дзе,

х = М + m;  М – цэлая частка лiку х; m – дробная частка лiку х.

 

Пры цэлалiкавых значэннях х, (пры m = 0), iнфолiякратная функцыя вiдавочна будзе роўнай значэнню фактэрыялу х!, а менавiта: 3,0(0)!? = 3(0 * 3! + (1 –0,0) * (3 – 1)!)  i  2,9(9)!? = 2,9(9) * (0,9(9) * 2! + (1 – 0,9(9)) * (2 – 1)!), прычым 3(0+2!) = 2,9(9) * (2! + 0) = 3!, што супадае з азначэннем фактэрыялу  n! = n(n – 1)!.

Разгледзiм магчымасць пабудовы адваротнай iнфолiякратнай функцыi. Па азначэнню адваротнай функцыi:  х = y(х!? або х!)?!. Тут выкарыстана абазначэнне у?!, якое складаецца з тых жа сiмвалаў, што выкарыстоўваюцца ў iнфолiякратнай функцыi, але запiсваемых у адваротным парадку, i заклiкана падкрэслiць, што значэнне адваротнай функцыi (аргументу iнфолiякратнай функцыi) цалкам вызначаецца значэннем самой iнфолiякратнай функцыi. Мнеманiчнае правiла: знакi ,!?, а таксама ?! быццам “з’ядаюць” адзiн аднаго, таму (х!? або х!)?! = х.

Дамовiмся называць значэнне х, атрыманае са значэння iнфолiякратнай функцыi х!? або х! больш коратка: iнфолiякрата.

Такiм чынам, iнфолiякрата фактэрыялу цэлага лiку i будзе сам гэты цэлы лiк, а iнфолiякрата адвольнага значэння iнфолiякратнай функцыi будзе аргументам гэтай функцыi.

Знойдзем iнфолiякрату адвольнага дадатнага лiку х!? або х!, для чаго уравненне iнфолiякратнай функцыi пачленна падзелiм на (М-1)!. Дамовiмся (па аналогii з азначэннем фактэрыялу) лiчыць, што iнфолiякрата усiх лiкаў iнтэрвалу (0,1) будзе роўна 1, а гэта значыць, што выраз (М-1)! мае найменшае значэнне 0! = 1. (Пашырэнне паняцця фактэрыялу на адмоўныя лiкi выбягае за межы гэтага артыкулу).

Атрымаем

 

х!? або х!/(М-1)! =х(Mm+(1-m)),

 

дзе, як вядома,  х = М + m. З улiкам гэтага азначэння, а таксама абазначэння Z = х!? або х!/(М-1)! маем

Z = (М+m)(Mm-m+1),

Што ў’яўляе звычайнае квадратнае ўраўненне аносна m.

Так, пасля перамнажэння i прывядзення падобных

 

M²m -Mm +M+Mm²- m² + m= Z ,

цi                                                  

 m² – m (M²-M+1) +M – Z =0,

або квадратнае ўраўненне m² + bm + c = 0, дзе b= (M²-M+1)/(М–1), c = (M/(M–1)–(х!? або х!/(М–2)!). Цэлая частка лiку М вызначаецца шляхам паслядоўнага дзялення х!? або х! на 1, 2, 3, i гэтак далей, пакуль лiчнiк не стане меншым, чым назоўнiк, а дробная частка лiку m– гэта i ёсць корань квадратнага ўраўнення. Сума цэлай i дробнай часткi – значэнне аргументу  х=М+m.

Знойдзем iнфолiякрату адвольнага канкрэтнага лiку, напрыклад, 121,03:

 

Цэлая частка лiку М=int(121,03/1/2/3/4/5)=5. (5!=1*2*3*4*5=120).

Дробная частка лiку m_1,2= (–(M²-M+1)/2) ± sqrt((M²-M+1)/2) ² –(M – Z))

Z = х!? або х!/(М-1)! =  121,03/24=5,04291666666; M – Z= –0,04291666666

–(M²-M+1)/2)= –10,5; sqrt(110,207083334)= 10,4979561503

m_1,2= –10,5±10,4979561503= –0,0020438497 або –20,9979561503

 

Знойдзем iнфолiякрату адвольнага канкрэтнага лiку, напрыклад, 120,23:

Цэлая частка лiку М=int(121,03/1/2/3/4/5)=5. (5!=1*2*3*4*5=120).

b/2 =10,5; Z =5,00958333333; Z – М = 0,00958333333;

Дробная частка лiку m_1,2= 10,5 ± sqrt(110,25 –0,00958333333);

m_1,2= 10,5±10,4995436408=0,0004563592; Праверым: 5,0004563592!? = 120,23002393

Даследаванне магчымасцi пабудовы х!? або х! для ўсiх адмоўных х, як i асвятленне абсягу практычнага выкарыстання iнфолiякратнай функцыi (напрыклад у камбiнаторыцы, цi пры вылiчэннях, якiя звязаны з выкарыстаннем Гама-функцыi), а таксама пабудова функцыi, а не паслядоўнасцi Фiбаначы, як ужо адзначалася выбягае за межы гэтага артыкула.